Turunanfungsi trigonometri ialah subtopik differensial yang cukup rumit sebab tidak spesialuntuk harus memahami konsep turunan, tetapi kita juga harus memahami konsep trigonometri. = sec x. tan x: f(x) = tan x: f '(x) =sec 2 x: f(x) = cotan x: f '(x) = -cosec 2 x: misal Soal : Tentukan turunan pertama dari y = sin 4x + cos 6x. Pembahasan : TurunanFungsi Trigonometri adalah turunan yang fungsi sinus dan kosinus, yang di dapat dari konsep limit atau persamaan turunan yang melibatkan fungsi - fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc. Jika f(x)= sec x → f '(x) = sec x . tan x; Jika f(x)= csc x → f '(x) = −csc x . cot x. Perluasan Rumus Turunan ContohSoal Turunan Trigonometri 3.1. Related posts: Péngertian Turunan Trigonometri Turunán fungsi trigonometri yáitu proses matématis untuk menemukan turunán pada suátu fungsi trigonometri átaupun tingkat perubahan térkait dengan suatu variabeInya. Fungsi trigonometri yáng biasa digunakan yáitu sin (x), cós (x) dan tán (x). jadi fungsi f(x) = -x 2 +6x-5 turun dala interval x > 3 Rumus Dasar Trigonometri Matematika A. Pengertian Trigonometri Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan (sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Cosecanthiperbolik : csch x = x sinh 1 = x x e e 2 − − Persamaan dasar mirip dengan fungsi trigonometri biasa: Fungsi Hiperbolik Fungsi Trigonometri a. tanh x = x coth 1 tan x = x cot 1 b. cosh 2 x - sinh 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1 c. 1 - tanh 2 x = sech 2 x 1 + tan 2 x = sec 2 x d. Rumusturunan fungsi trigonometri. Penambahan pengurangan perkalian pembagian himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri eksponen dan logaritma. Fungsi trigonometri invers adalah fungsi invers suatu fungsi trigonometri. Akan tetapi dalam kasus tidak diketahui fungsi awal dari suatu turunan. . - Rumus turunan trigonometri berisi persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan fungsi trigonometri lainnya. Turunan fungsi trigonometri adalah proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri atau pun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Misal turunan fx ditulis f’a yang artinya tingkat perbahan fungsi di titik a. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan adalah sin x,cos x,tan x. Turunan fungsi trigonometri diperoleh dari limit fungsi trigonometri. Karena turunan merupakan bentuk khusus dari limit. Baca JugaAnaknya Dihina Henny Rahman, Ibu Larissa Chou Beri Sindiran Pedas Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang harus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x Baca JugaLarissa Chou dan Henny Rahman Berseteru Di Atas Langit Masih Ada Langit f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Berdasarkan hal tersebut, diperoleh rumusan turunan fungsi trigonometri sebagai berikut A. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, maka rumus turunannya akan menjadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. B. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Misalkan variabel sudut trigonometrinya ax+b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0, maka turunan fungsi trigonometrinya yaitu,f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Contoh Soal Turunan Trigonometri Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Demikianlah penjelasan tentang turunan fungsi trigonometri, semoga bermanfaat. Kontributor Titi Sabanada Definisi turunan, notasi delta, dan aturan turunan fungsi aljabar dasar telah dipelajari sebelumnya. Selain aljabar, fungsi trigonometri juga dapat diturunkan dengan menggunakan prinsip yang sama seperti kita menerapkan definisi turunan, yakni menggunakan limit. Selain itu, beberapa identitas dasar trigonometri juga dipakai saat proses pembuktian turunannya. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Konsep, Sifat, dan Aturan dalam Perhitungan Turunan Dasar Sebagaimana yang telah kita ketahui, fungsi trigonometri ada $6$, yaitu sinus, kosinus, tangen, kosekan, sekan, dan kotangen. Hanya sinus dan kosinus yang turunannya dicari menggunakan proses notasi delta dan definisi turunan. Fungsi lainnya dicari turunannya menggunakan aturan hasil bagi turunan. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan Diferensial Kali ini, akan dibuktikan turunan pertama dari setiap fungsi trigonometri tersebut. Quote by Nadiem Makarim Mulai aja dulu. Kalau kamu tidak mulai, maka kamu tidak akan berada di sana. Turunan Fungsi Sinus Fungsi sinus memiliki bentuk $fx = \sin x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \sin x \\ y + \Delta y & = \sin x+h \\ \Delta y & = \sin x+h-\sin x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = 2 \cos \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = \cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left\cos \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\lim_{h \to 0} \cos \dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \cos \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = \cos x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \sin x$ adalah $f'x = \cos x$. Baca Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar Turunan Fungsi kosinus Fungsi kosinus memiliki bentuk $fx = \cos x$. Berdasarkan proses notasi delta, kita peroleh $\begin{aligned} y & = \cos x \\ y + \Delta y & = \cos x+h \\ \Delta y & = \cos x+h-\cos x \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas selisih sudut sinus $$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \left\dfrac{A+B}{2}\right \sin \left\dfrac{A-B}{2}\right}$$Dari sini, kita mendapatkan $\Delta y = -2 \sin \dfrac122x+h \sin \dfrac12h.$ Posisikan koefisien $2$ sebagai penyebut $\sin \dfrac12h$ dan bagi kedua ruas persamaan itu dengan $h$ sehingga diperoleh $\dfrac{\Delta y}{h} = -\sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}.$ Terapkan definisi turunan dengan memunculkan notasi limit. $$\begin{aligned} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \left- \sin \dfrac122x+h \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = \left\displaystyle \lim_{h \to 0} -\sin\dfrac122x+h\right \cdot \left\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin \dfrac12h}{\dfrac12h}\right \\ & = -\sin \dfrac122x+0 \cdot 1 \\ & = -\sin x \end{aligned}$$Jadi, turunan pertama dari $fx = \cos x$ adalah $f'x = -\sin x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Turunan Fungsi Tangen Fungsi tangen memiliki bentuk $fx = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \sin x \Rightarrow u’ = \cos x$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{\cos x \cos x-\sin x-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{1}{\cos^2 x} \\ & = \left\dfrac{1}{\cos x}\right^2 \\ & = \sec^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \tan x$ adalah $f'x = \sec^2 x.$ Baca Juga Soal dan Pembahasan – Penerapan Identitas Trigonometri Turunan Fungsi Kosekan Fungsi kosekan memiliki bentuk $fx = \csc x = \dfrac{1}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\sin x-1\cos x}{\sin^2 x} \\ & = -\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{1}{\sin x} \\ & = -\cot x \cdot \csc x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \csc x$ adalah $f'x = -\cot x \csc x$. Turunan Fungsi Sekan Fungsi sekan memiliki bentuk $fx = \sec x = \dfrac{1}{\cos x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = 1 \Rightarrow u’ = 0$ $v = \cos x \Rightarrow v’ = -\sin x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{0\cos x-1-\sin x}{\cos^2 x} \\ & = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} \\ & = \tan x \sec x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \sec x$ adalah $f'x = \tan x \sec x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan kosinus, dan Luas Segitiga dalam Trigonometri Turunan Fungsi Kotangen Fungsi kotangen memiliki bentuk $fx = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$. Akan digunakan aturan hasil bagi dalam turunan untuk menentukan $f'x$. Misalkan $u = \cos x \Rightarrow u’ = -\sin x$ $v = \sin x \Rightarrow v’ = \cos x$ Kita akan memperoleh $\begin{aligned} f'x & = \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ & = \dfrac{-\sin x \sin x-\cos x\cos x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = \dfrac{-\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ & = -\left\dfrac{1}{\sin x}\right^2 \\ & = -\csc^2 x \end{aligned}$ Jadi, turunan pertama dari $fx = \cot x$ adalah $f'x = -\csc^2 x$. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri Sekarang, dapat kita simpulkan hasil dari turunan pertama setiap fungsi trigonometri dalam panel berikut. Turunan Fungsi Trigonometri Misalkan $fx$ menyatakan suatu fungsi dan $f'x$ menyatakan turunan pertamanya. $$\begin{aligned} & 1.~\text{Jika}~fx = \sin x,~\text{maka}~f'x = \cos x \\ & 2.~\text{Jika}~fx = \cos x,~\text{maka}~f'x = -\sin x \\ & 3.~\text{Jika}~fx = \tan x,~\text{maka}~f'x = \sec^2 x \\ & 4.~\text{Jika}~fx = \csc x,~\text{maka}~f'x = -\cot x \csc x \\ & 5.~\text{Jika}~fx = \sec x,~\text{maka}~f'x = \tan x \sec x \\ & 6.~\text{Jika}~fx = \cot x,~\text{maka}~f'x = -\csc^2 x \end{aligned}$$ Keenam poin tentang turunan pertama fungsi trigonometri di atas terpakai untuk menentukan turunan fungsi trigonometri yang lebih rumit biasanya melibatkan aturan rantai dan penelusuran akan lebih jauh bila Anda memasuki zona kalkulus, salah satu cabang matematika yang khusus mempelajari perubahan suatu fungsi. Tips Umumnya hanya turunan fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang banyak dikeluarkan dalam soal-soal latihan untuk tingkat SMA. Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Aljabar Baca Juga Soal dan Pembahasan – Turunan Fungsi Trigonometri kali ini akan membahas tentang materi pengertian turunan trigonometri yang meliputi rumus turunan beserta contoh soal turunan trigonometri dan pembahasannya lengkap. Turunan fungsi trigonometri yaitu proses matematis untuk menemukan turunan pada suatu fungsi trigonometri ataupun tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang biasa digunakan yaitu sinx, cosx dan tanx. Contoh turunan “fx = sinx” ditulis “f ′a = cosa”. “f ′a” yaitu tingkat perubahan sinx di titik “a”. turunan trigonometri Semua turunan fungsi trigonometri lingkaran bisa ditemui dengan cara memakai turunan sinx dan cosx. hasil-bagi lalu dpakai untuk menemukan turunannya. Sementara itu, pencarian turunan fungsi trigonometri invers membutuhkan diferensiasi implisit dan turunan fungsi trigonometri biasa. Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang hatus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri f x = sin x → f x = cos x f x = cos x → f x = −sin x f x = tan x → f x = sec2 x f x = cot x → f x = −csc2x f x = sec x → f x = sec x . tan x f x = csc x → f x = −csc x . cot x. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, Jadi f x = sin u → f x = cos u . u’ f x = cos u → f x = −sin u . u’ f x = tan u → f x = sec2u . u’ f x = cot u → f x = −csc2 u . u’ f x = sec u → f x = sec u tan u . u’ f x = csc u → f x = −csc u cot u . u’. Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ialah turunan dari fungsi rumus sin cos tan trigonometri pada variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0 f x = sin ax + b → f x = a cos ax + b f x = cos ax + b → f x = -a sin ax + b f x = tan ax + b → f x = a sec2 ax +b f x = cot ax + b → f x = -a csc2 ax+b f x = sec ax + b → f x = a tan ax + b . sec ax + b f x = csc ax + b → f x = -a cot ax + b . csc ax + b. Fungsi Turunan fungsi turunan trigonometri Contoh Soal Turunan Trigonometri Contoh Soal 1 Tentukan turunan y = cos x2 Jawab Misal u = x2 ⇒ u’ = 2x y’ = −sin u . u’ y’ = −sin x2 . 2x y’ = −2x sin x2 Contoh Soal 2 Tentukan turunan y = sin 4x ! Jawab Misal u = 4x ⇒ u’ = 4 y’ = cos u . u’ y’ = cos 4x . 4 y’ = 4cos 4x Contoh Soal 3 Tentukan turunan y = sec 1/2x Jawab Misal u = 12x ⇒ u’ = 12 y’ = sec u tan u . u’ y’ = sec 1/2x tan 1/2x . 1/2 y’ = 1/2sec 1/2x tan 1/2x Contoh Soal 4 Tentukan turunan y = tan 2x+1 Jawab Misal u = 2x + 1 ⇒ u’ = 2 y’ = sec2u . u’ y’ = sec22x+1 . 2 y’ = 2sec22x+1 Contoh Soal 5 Tentukan turunan y = sin74x−3 Jawab y = [sin 4x−3]7 Misal ux = sin 4x−3 ⇒ u'x = 4 cos 4x−3 n = 7 y’ = n [ux]n-1. u'x y’ = 7 [sin 4x−3]7-1 . 4 cos 4x−3 y’ = 28 sin6 4x−3 cos 4x−3 Demikianlah penjelasan tentang turunan trigonometri dari Semoga bermanfaat Artikel Lainya Contoh Soal Induksi Matematika Contoh Soal Mikrometer Sekrup Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut Jika y = sin x maka y’ = cos x Jika y = cos x maka y’ = –sin x Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah Jika y = tan x maka y’ = sec2x Jika y = cot x maka y’ = – cosec2x Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut Misalkan ux adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan fu = sin u, maka untuk y = f [ux] diperoleh y’ = f [ux]. u’x y’ = cos uu’ y’ = u’.cos u Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec2u Untuk y = cot u maka y’ = u'. cosec2u Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini 01. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini a fx = cos 3x – 4 b fx = x2 – 4 c fx = cot 2x + 5 – – 4 d fx = 4x2 – sec2x2 + 3x Jawab a fx = cos 3x – 4 Maka f ’x = 3–sin3x – 4 f ’x = – – 4 b fx = x2 – 4 Maka f ’x = 2x3sec2 x2 – 4 f ’x = 2x sec2 x2 – 4 c fx = cot 2x + 5 – 5 . secx2 – 4 Maka f ’x = 252 . sec2x – 2x – 4.tanx2 – 4 f ’x = 20 . sec2x – – 4.tanx2 – 4 d fx = 4x2 – sec2x2 + 3x Maka f ’x = 8x – 4x + 3 secx2 + 3x.tan2x2 + 3x 02. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini 03. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini jawab 04. Tentukanlah nilai setiap turunan berikut ini untuk x bilangan real yang diberikan jawab Blog Koma - Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya. Rumus-rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri i. $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ ii. $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ iii. $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ iv. $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ v. $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $ vi. $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x . \cot x $ Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk $ \csc x \, $ sama dengan $ cossec \, x $ . Contoh 1. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \sin x . \cos x $ b. $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ c. $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Penyelesaian a. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x . \cos x $ Misalkan $ U = \sin x \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \cos x \rightarrow V^\prime = -\sin x $ *. Rumus dasar $ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x . \cos x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \cos x + \sin x . -\sin x \\ & = \cos ^2 x - \sin ^2 x \\ & = \cos 2x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x . \cos x \rightarrow y^\prime = \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x $ b. Turunan perkalian fungsi , $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x $ Misalkan $ U = \sin x + 1 \rightarrow U^\prime = \cos x $ dan $ V = \tan x - \sec x \rightarrow V^\prime = \sec ^2 x - \sec x . \tan x = \sec x \sec x - \tan x $ *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \sin x + 1 \tan x - \sec x \\ y & = \\ y^\prime & = U^\prime . V + \\ & = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x \end{align} $ Jadi, diperoleh $ y = \sin x + 1 \tan x - \sec x , \, $ turunannya adalah $ y^\prime = \cos x . \tan x - \sec x + \sin x + 1 .\sec x \sec x - \tan x $ c. Turunan pembagian fungsi , $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} $ Misalkan $ U = 1 + \cot x \rightarrow U^\prime = -\csc ^2 x $ dan $ V = \sin x + \cos x \rightarrow V^\prime = \cos x - \sin x $ *. Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri, *. Menentukan turunannya $ \begin{align} y & = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \\ y & = \frac{U}{V} \\ y^\prime & = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{-\csc ^2 x . \sin x + \cos x - 1 + \cot x. \cos x - \sin x }{\sin x + \cos x ^2} \\ & = \frac{ -\csc ^2 x \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cot x \sin x }{ \sin ^2 x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin ^2 x} . \sin x - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \frac{\cos x}{\sin x} . \sin x }{ 1 + 2\sin x \cos x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x - \cos x +\sin x - \cot x \cos x + \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \frac{1}{\sin x} - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \\ & = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Jadi, diperoleh $ \begin{align} y = \frac{1 + \cot x }{\sin x + \cos x } \end{align} \, , $ turunannya adalah $ \begin{align} y^\prime = \frac{ - \csc x - \csc ^2 x \cos x +\sin x - \cot x \cos x }{ 1 + \sin 2x } \end{align} $ Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri yang lebih kompleks Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks i. $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx $ ii. $ y = \cos gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .\sin gx $ iii. $ y = \tan gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . \csc gx . \cot gx $ Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya i. $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ ii. $ y = \cos ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx $ iii. $ y = \tan ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n \tan ^{n - 1 } gx . \sec ^2 gx $ iv. $ y = \cot ^{n } gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. n. \cot ^{n -1} gx . \csc ^2 gx $ v. $ y = \sec ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n. \sec ^{n -1 } gx . \sec gx . \tan gx $ vi. $ y = \csc ^{n } gx $ $ \rightarrow y^\prime = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx $ Catatan bentuk $ \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi". Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya $n$, maka langsung gunakan "SuTri" saja. Contoh 2. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut. a. $ y = \sin 3x^2 + 2x - 5 $ b. $ y = \cot x^2 - x + 7 $ c. $ y = \sec 5x^3 + 9 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 3x^2 + 2x - 5 \rightarrow g^\prime x = 6x + 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sin 3x^2 + 2x - 5 \\ y & = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \cos gx \\ y^\prime & = 6x + 2 . \cos 3x^2 + 2x - 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 6x + 2 \cos 3x^2 + 2x - 5 $ b. misalkan $ gx = x^2 - x + 7 \rightarrow g^\prime x = 2x-1 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cot x^2 - x + 7 \\ y & = \cot gx \rightarrow y^\prime = -g^\prime x. \csc ^2 gx \\ y^\prime & = -2x-1 . \csc ^2 x^2 - x + 7 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -2x-1 \csc ^2 x^2 - x + 7 $ c. misalkan $ gx = 5x^3 + 9 \rightarrow g^\prime x = 15x^2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sec 5x^3 + 9 \\ y & = \sec gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . \sec gx . \tan gx \\ y^\prime & = 15x^2 . \sec 5x^3 + 9 . \tan 5x^3 + 9 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = 15x^2 \sec 5x^3 + 9 \tan 5x^3 + 9 $ 3. Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut a. $ y = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 $ b. $ y = \csc ^ 5 x^4 + 5 $ Penyelesaian a. misalkan $ gx = 2x^3 - 5x + 2 \rightarrow g^\prime x = 6x - 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \cos ^ 3 2x^3 - 5x + 2 \\ y & = \cos ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x .n. \cos ^{n -1 } gx . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-5 . 3 . \cos ^{3 -1 } 2x^3 - 5x + 2 . \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 $ Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu $ \sin 2 gx = 2 \sin gx \cos gx \, $ atau $ \sin gx \cos gx = \frac{1}{2} \sin 2 gx \, $ . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan. *. Kita modifikasi , $ \begin{align} y^\prime & = -18x-15 \cos ^{2 } 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 2x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 22x^3 - 5x + 2 ] \\ & = -18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 [\frac{1}{2}.\sin 4x^3 - 10x + 4 ] \\ & = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 . \sin 4x^3 - 10x + 4 \end{align} $ Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah $ y^\prime = -\frac{1}{2}18x-15 \cos 2x^3 - 5x + 2 \sin 4x^3 - 10x + 4 $ b. misalkan $ gx = x^4 + 5 \rightarrow g^\prime x = 4x^3 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \csc ^ 5 x^4 + 5 \\ y & = \csc ^{n } gx \\ y^\prime & = -g^\prime x . n.\csc ^{n -1} gx . \csc gx . \cot gx \\ y^\prime & = -x^4+5 . 5.\csc ^{5 -1} x^4 + 5 . \csc x^4 + 5 . \cot x^4 + 5 \\ & = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -5x^4+25 \csc ^{4} x^4 + 5 \csc x^4 + 5 \cot x^4 + 5 $ 4. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} $ misalkan $ gx = x^2 + 5x - 1 \rightarrow g^\prime x = 2x + 5 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 } \rightarrow y = [\sin x^2 + 5x - 1]^\frac{1}{2} \\ y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^{n } \\ y^\prime & = g^\prime x . n . [\sin gx ]^{n-1} . \cos gx \\ y^\prime & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . [\sin x^2 + 5x - 1 ]^{-\frac{1}{2}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin x^2 + 5x - 1 ]^{\frac{1}{2}}} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = 2x + 5 . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} . \cos x^2 + 5x - 1 \\ & = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1 }} \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = \frac{2x + 5\cos x^2 + 5x - 1 }{ 2\sqrt{ \sin x^2 + 5x - 1}} $ 5. Tentukan turunan fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } $ ? Penyelesaian *. Fungsinya $ y = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} $ misalkan $ gx = 3x^2 - 2x \rightarrow g^\prime x = 6x - 2 $ *. Menentukan turunannya. $ \begin{align} y & = \sqrt{ \cos ^ 5 3x^2 - 2x } \rightarrow y = [\cos 3x^2 - 2x]^\frac{5}{2} \\ y & = \cos ^{n } gx = [\cos gx ]^{n } \\ y^\prime & = -g^\prime x . n . [\cos gx ]^{n-1} . \sin gx \\ y^\prime & = -6x-2 . \frac{5}{2} . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{5}{2}-1} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -3x-1 . 5 . [\cos 3x^2 - 2x ]^{\frac{3}{2}} . \sin 3x^2 - 2x \\ & = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x \end{align} $ Jadi, turunannya adalah $ y^\prime = -15x-5 \sqrt{\cos ^3 3x^2 - 2x} \sin 3x^2 - 2x $ Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu $ f^\prime x = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{fx+ h - fx}{h} \, \, $ jika limitnya ada. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ *. Ingat bentuk $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \sin x + h = \sin x \cos h + \cos x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h + \sin x - \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 + \cos x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \cos h - 1 }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 + \cos x . 1 \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 + \cos x \\ & = \sin x . \frac{1}{2}. 0 + \cos x \\ & = 0 + \cos x \\ & = \cos x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ *. Ingat bentuk $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ Sehingga $ fx+h = \cos x + h = \cos x \cos h - \sin x \sin h $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ \cos h - 1 = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 - \sin x \sin h }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \cos h - 1 }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos h - 1 }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . - 2\sin \frac{1}{2} h - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin \frac{1}{2} 0 - \sin x . 1 \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. - 2\sin 0 - \sin x \\ & = \cos x . \frac{1}{2}. 0 - \sin x \\ & = 0 - \sin x \\ & = -\sin x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cos x \rightarrow y^\prime = -\sin x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \tan x $ $ fx+h = \tan x+h = \frac{\sin x+h}{\cos x+h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \, \, \, \, \, \text{identitas} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ 1 \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x 1 - \sin x .0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x . \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ & = \sec x . \sec x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \tan x \rightarrow y^\prime = \sec ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ Identitas trigonometri $ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \cot x $ $ fx+h = \cot x+h = \frac{\cos x+h}{\sin x+h} = \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x + \cos ^2 x \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - 1 \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = 1. \frac{ - 1 }{\sin x\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x .1 + \cos x .0 } \\ & = \frac{ - 1 }{\sin x\sin x } \\ & = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ & = - \csc x . \csc x \\ & = - \csc ^2 x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \cot x \rightarrow y^\prime = -\csc ^2 x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \cos A+B = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec x A = \frac{1}{\cos A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \sec x $ $ fx+h = \sec x+h = \frac{1}{\cos x+h} = \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $ $ fx = \sec x = \frac{1}{\cos x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h - \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x 1 - \cos h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \cos x \cos h - \sin x \sin h } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin \frac{1}{2} .0 . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x \cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 \sin 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x . 1 - \sin x . 0 } \\ & = \frac{ \cos x . 2 0 . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x \cos x - 0 } \\ & = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x \cos x } \\ & = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ & = \sec x \tan x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x \tan x $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ *. Ingat Rumus Trigonometri $ \sin A+B = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \csc x A = \frac{1}{\sin A } $ Sehingga fungsinya $ fx = \csc x $ $ fx+h = \csc x+h = \frac{1}{\sin x+h} = \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} $ $ fx = \csc x = \frac{1}{\sin x} $ *. Rumus $ \cos px = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} x $ Sehingga $ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h $ bentuk $ 1 - \cos h = 1 - 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin ^2 \frac{1}{2} h = 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} f^\prime x & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{fx+h - fx }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{1}{\sin x} }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h + \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x - \sin x \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 1 - \cos h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } }{h} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h - \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \frac{ \cos x \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \cos x \frac{ \sin h }{h} }{\sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x 2\sin \frac{1}{2} h . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 }\frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \sin x \cos h + \cos x \sin h } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin \frac{1}{2} . 0 . \frac{1}{2} - \cos x . 1 }{ \sin x \sin x \cos 0 + \cos x \sin 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2\sin 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x . 1 + \cos x . 0 } \\ & = \frac{ \sin x 2 . 0 . \frac{1}{2} - \cos x }{ \sin x \sin x + 0 } \\ & = \frac{ 0 - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = \frac{ - \cos x }{ \sin x \sin x } \\ & = - \frac{ 1 }{ \sin x } . \frac{ \cos x }{ \sin x } \\ & = - \csc x \cot x \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \csc x \rightarrow y^\prime = -\csc x \cot x $ Catatan nilai $ \sin 0 = 0 \, $ dan $ \, \cos 0 = 1 $ Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi. $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ *. Permisalan $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ y = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dy}{dz} = \cos z $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin gx \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = \cos z . g^\prime x \\ & = g^\prime x \cos z \\ & = g^\prime x \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x \cos gx $ $\spadesuit $ Pembuktian rumus $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ *. Permisalan $ y = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n $ $ z = gx \rightarrow \frac{dz}{dx} = g^\prime x $ $ p = \sin gx = \sin z \rightarrow \frac{dp}{dz} = \cos z = \cos gx $ $ y = [\sin gx ]^n = [ p ]^n \rightarrow \frac{dy}{dp} = n . p ^ {n-1} = n . [ \sin gx ]^{n-1} = n. \sin ^{n-1} gx $ *. Menentukan penyelesaiannya, $ \begin{align} y & = \sin ^{n } gx = [\sin gx ]^n \\ y^\prime & = \frac{dy}{dx} \\ & = \frac{dy}{dp} . \frac{dp}{dz} . \frac{dz}{dx} \\ & = n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx . g^\prime x \\ & = g^\prime x . n. \sin ^{n-1} gx . \cos gx \end{align} $ Sehingga terbukti $ y = \sin ^{n } gx \rightarrow y^\prime = g^\prime x . n . \sin ^{n-1} gx . \cos gx $ Catatan untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas. pada kesempatan sebelum sudah dibahas tentang materi aturan-aturan turuan dan sekarang akan membahas tentang materi turunan fungsi trigonometri serta pembuktianya menggunakan definisi turunan. Apasih turunan trigonometri itu? Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi-fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, sec, csc, dan cot. Untuk lebih lanjut, mari simak penjelasan berikut ini. 1. Turunan Fungsi sin x Untuk menghitung turunan dari fx = sin x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi sinus sin x + h = sin x. cos h + cos x. sin h Jika fx = sin x, maka Sehingga, turunan dari fungsi sin x adalah 2. Turunan Fungsi cos x Untuk menghitung turunan dari fx = cos x, kita perlu mengkombinasikan limit dengan identitas jumlah sudut untuk fungsi cosinus cos x + h = cos x. cos h - sin x. sin h Jika fx = cos x, maka Sehingga, turunan dari fungsi cos x adalah 3. Turunan Fungsi tan x Untuk menghitung turunan dari fx = tan x, kita perlu menggunakan aturan-aturan turunan pada hasil bagi/pembagian. Kemudian gunakan turunan fungsi sin x dan cos x yang sudah dicari. Jika fx = tan x, maka Sehingga, turunan dari fungsi tan x adalah 4. Turunan Fungsi sec x Untuk menghitung turunan dari fx = sec x, kita perlu menggunakan aturan-aturan identitas trigonometri dan aturan pembagian dalam turunan. Jika fx = sec x, maka Sehingga, turunan fungsi sec x adalah 5. Turunan Fungsi csc x Caranya sama dengan mencari turunan fungsi sec x, yaitu dengan menggunakan aturan identitas trigonometri csc x dan aturan pembagian turunan Jika fx = csc x, maka Sehingga, turunan dari csc x adalah 6. Turunan Fungsi cot x Ulangi lagi cara yang sama yang dilakukan diatas. yaitu gunakan aturan identitas dan aturan turunan dalam pembagian Jika fx = cot x, maka Sehingga turunan dari fungsi cot x adalah Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I Berikut ini merupakan turunan dari fungsi- fungsi rumus sin, cos, tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax, dimana a adalah bilangan real dengan a ≠ 0 fx = sin ax, maka f'x = a cos ax fx = cos ax, maka f'x = -a sin ax fx = tan ax, maka f'x = a sec2 ax fx = sec ax, maka f'x = a sec ax. tan ax fx = csc ax, maka f'x = -a csc ax. cot ax fx = cot ax, maka f'x = -a csc2 ax Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II Berikut ini merupakan turunan dari fungsi – fungsi rumus sin cos tan, sec, csc, dan tan dalam variabel sudut ax + b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a ≠ 0 Jika, fx = sin ax + b, maka f'x = a cos ax + b fx = cos ax + b, maka f'x = -a sin ax + b fx = tan ax + b, maka f'x = a sec2 ax + b fx = sec ax + b, maka f'x = a sec ax + b. tan ax + b fx = csc ax + b, maka f'x = -a csc ax + b. cot ax + b fx = cot ax + b, maka f'x = -a sec2 ax + b Contoh Untuk memahami turunan fungsi trigonometri yang sudah dijelaskan diatas, sebaiknya kita berlatih mengerjakan soal. Silahkan klik link yang sudah saya sediakan {latihan soal turunan fungsi trigonometri}.

turunan fungsi trigonometri sec x